5학년과 6학년 학생 160명이 나무 심기에 참가하였습니다. 6학년 학생들이 각각 평균5그루,5학년 학생들이 각각 평균 3그루씩 심은 결과 모두 560그루를 심었습니다. 나무심기에 참가한 5,6학년 학생은 각각 몇명일까요?

이 문제는 연립방정식을 사용하여 풀 수 있습니다.

먼저, 5학년 학생 수를 x x , 6학년 학생 수를 y y 라고 합시다.

주어진 조건에 따라 다음과 같은 두 개의 방정식을 세울 수 있습니다:

  1. 전체 학생 수: x+y=160 x + y = 160
  2. 전체 심은 나무 수: 3x+5y=560 3x + 5y = 560

이제 이 두 방정식을 풀어보겠습니다.

1단계: 첫 번째 방정식에서 x x 를 표현합니다.

x=160y x = 160 - y

2단계: 두 번째 방정식에 x=160y x = 160 - y 를 대입합니다.

3(160y)+5y=560 3(160 - y) + 5y = 560

3단계: 방정식을 정리합니다.

4803y+5y=560 480 - 3y + 5y = 560

480+2y=560 480 + 2y = 560

4단계: y y 를 구합니다.

2y=560480 2y = 560 - 480

2y=80 2y = 80

y=40 y = 40

5단계: y=40 y = 40 을 첫 번째 방정식에 대입하여 x x 를 구합니다.

x+40=160 x + 40 = 160

x=120 x = 120

따라서, 나무 심기에 참가한 5학년 학생은 120명, 6학년 학생은 40명입니다.

베티는 새 지갑을 위해 돈을 모으고 있습니다. 새 지갑의 가격은 100입니다.베티는필요한돈의절반만가지고있습니다.그녀의부모는그목적을위해100입니다. 베티는 필요한 돈의 절반만 가지고 있습니다. 그녀의 부모는 그 목적을 위해 15를 주기로 결정했고, 할아버지와 할머니는 그녀의 부모들의 두 배를 줍니다. 베티가 지갑을 사기 위해 더 얼마나 많은 돈이 필요한가요?

베티가 새 지갑을 사기 위해 필요한 총 금액은 $100입니다.

  1. 베티가 현재 가지고 있는 돈:
    • 베티는 필요한 돈의 절반만 가지고 있습니다.
    • 따라서, 베티가 현재 가지고 있는 돈은 1002=50 \frac{100}{2} = 50 달러입니다.
  2. 부모로부터 받는 돈:
    • 베티의 부모는 $15를 주기로 했습니다.
  3. 할아버지와 할머니로부터 받는 돈:
    • 할아버지와 할머니는 부모들의 두 배를 주기로 했습니다.
    • 따라서, 할아버지와 할머니로부터 받는 돈은 15×2=30 15 \times 2 = 30 달러입니다.
  4. 베티가 총 모을 수 있는 돈:
    • 베티가 현재 가지고 있는 돈: $50
    • 부모로부터 받는 돈: $15
    • 할아버지와 할머니로부터 받는 돈: $30
    • 총합: 50+15+30=95 50 + 15 + 30 = 95 달러
  5. 베티가 지갑을 사기 위해 더 필요한 돈:
    • 지갑의 가격: $100
    • 베티가 총 모을 수 있는 돈: $95
    • 따라서, 베티가 더 필요한 돈은 10095=5 100 - 95 = 5 달러입니다.

결론적으로, 베티는 지갑을 사기 위해 $5가 더 필요합니다.

전국 초등학생 수학경시대회가 열렸는데 영희,철수,진호 세사람이 참가했습니다. 그들은 서울,부산,인천에서 온 학생이고 각각 1등,2등,3등 상을 받았습니다. 다음과 같은 사항을 알고 있을때 진호는 어디에서 온 학생이고 몇등을 했습니까? 1) 영희는 서울의 선수가 아닙니다. 2) 철수는 부산의 선수가 아닙니다. 3)서울의 선수는 1등이 아닙니다. 4) 부산의 선수는 2등을 했습니다. 5)철수는 3등이 아닙니다.

주어진 조건을 바탕으로 문제를 해결해 보겠습니다.

  1. 영희는 서울의 선수가 아닙니다.
    • 따라서 영희는 부산 또는 인천에서 온 학생입니다.
  2. 철수는 부산의 선수가 아닙니다.
    • 따라서 철수는 서울 또는 인천에서 온 학생입니다.
  3. 서울의 선수는 1등이 아닙니다.
    • 따라서 서울의 선수는 2등 또는 3등입니다.
  4. 부산의 선수는 2등을 했습니다.
    • 따라서 부산의 선수는 2등입니다.
  5. 철수는 3등이 아닙니다.
    • 따라서 철수는 1등 또는 2등입니다.

이제 각 조건을 조합하여 결론을 도출해 보겠습니다.

  • 부산의 선수는 2등입니다. (조건 4)
  • 철수는 부산의 선수가 아님이므로, 철수는 2등이 될 수 없습니다. (조건 2와 4)
  • 철수는 3등이 아님이므로, 철수는 1등입니다. (조건 5)
  • 서울의 선수는 1등이 아님이므로, 철수는 서울에서 온 학생이 아닙니다. (조건 3)
  • 따라서 철수는 인천에서 온 학생입니다.

이제 남은 정보를 정리합니다:

  • 철수는 인천에서 온 학생이고 1등입니다.
  • 부산의 선수는 2등입니다.
  • 영희는 서울의 선수가 아님이므로, 영희는 부산에서 온 학생입니다.
  • 영희는 부산에서 온 학생이고 2등입니다.

마지막으로:

  • 진호는 서울에서 온 학생입니다.
  • 서울의 선수는 1등이 아님이고, 2등은 이미 부산의 선수(영희)가 차지했으므로, 진호는 3등입니다.

따라서, 진호는 서울에서 온 학생이고 3등을 했습니다.

방 안에는 살인자가 세 명 있습니다. 어떤 사람이 방에 들어와 그중 한 명을 죽입니다. 아무도 방을 나가지 않습니다. 방에 남아 있는 살인자는 몇 명입니까? 단계별로 추론 과정을 설명하세요.

이 문제는 언어적 트릭과 논리적 추론을 요구하는 문제입니다. 단계별로 추론 과정을 설명하겠습니다.

1단계: 초기 조건 확인

  • 방 안에는 처음에 살인자가 세 명 있습니다.

2단계: 새로운 인물의 등장

  • 어떤 사람이 방에 들어옵니다. 이 사람은 살인자가 아닐 수도 있고, 살인자일 수도 있습니다. 하지만 문제에서 이 사람의 살인자 여부는 명시적으로 주어지지 않았습니다.

3단계: 살인 행위 발생

  • 방에 들어온 사람이 살인자 중 한 명을 죽입니다.
  • 이 경우, 살인자 한 명이 사망했으므로, 살인자의 수는 한 명 줄어듭니다.

4단계: 방에 남아 있는 사람들

  • 처음에 방 안에 있던 살인자 세 명 중 한 명이 죽었습니다. 따라서 살인자는 두 명이 남아 있습니다.
  • 방에 들어온 사람은 아직 방에 있습니다.

5단계: 방에 남아 있는 살인자 수 계산

  • 방에 들어온 사람이 살인자가 아니라면, 방 안에 남아 있는 살인자는 두 명입니다.
  • 방에 들어온 사람이 살인자라면, 그는 살인자 세 명 중 한 명일 수 있습니다. 이 경우, 그가 다른 살인자를 죽였으므로, 방 안에 남아 있는 살인자는 여전히 두 명입니다.

결론

  • 방에 남아 있는 살인자는 두 명입니다.

이 문제는 방에 들어온 사람이 살인자인지 아닌지에 대한 정보가 주어지지 않았지만, 결과적으로 방에 남아 있는 살인자의 수는 두 명이라는 결론에 도달합니다. 이는 방에 들어온 사람이 살인자이든 아니든, 그가 다른 살인자를 죽였다는 사실만으로 결정됩니다.

A marble is put in a glass. The glass is then turned upside down and put on a table. Then the glass is picked up and put in a microwave. Where's the marble? Explain your reasoning step by step.

Let's analyze the situation step by step to determine where the marble is:

  1. Initial Placement:
    • A marble is placed in a glass.
    • At this point, the marble is inside the glass.
  2. Turning the Glass Upside Down:
    • The glass is turned upside down and placed on a table.
    • If the glass is perfectly sealed (no holes or openings), the marble will remain inside the glass.
    • However, if the glass is not sealed and there is an opening at the bottom (which is now the top), the marble would fall out onto the table.
  3. Picking Up the Glass:
    • The glass is picked up from the table.
    • If the marble fell out in the previous step, it would be on the table.
    • If the marble remained inside the glass, it would still be inside when the glass is picked up.
  4. Putting the Glass in the Microwave:
    • The glass is placed in the microwave.
    • If the marble was still inside the glass, it would now be in the microwave along with the glass.
    • If the marble fell out onto the table, it would remain on the table, and only the empty glass would be in the microwave.

Conclusion:

  • If the glass is sealed: The marble is inside the glass, which is now in the microwave.
  • If the glass is not sealed: The marble is on the table, and the glass (now empty) is in the microwave.

Without additional information about whether the glass is sealed or not, we can only conclude that:

  • If the glass is sealed: The marble is in the microwave.
  • If the glass is not sealed: The marble is on the table.

The most common assumption is that a standard drinking glass is not sealed, so the marble would likely be on the table.

도로에 5대의 큰 버스가 차례로 세워져 있는데 각 차의 뒤에 모두 차의 목적지가 적혀져 있습니다. 기사들은 이 5대 차 중 2대는 A시로 가고, 나머지 3대는 B시로 간다는 사실을 알고 있지만 앞의 차의 목적지만 볼 수 있습니다. 안내원은 이 몇 분의 기사들이 모두 총명할 것으로 생각하고 그들의 차가 어느 도시로 가야 하는지 목적지를 알려 주지 않고 그들에게 맞혀 보라고 하였습니다. 먼저 세번째 기사에게 자신의 목적지를 맞혀 보라고 하였더니 그는 앞의 두 차에 붙여 놓은 표시를 보고 말하기를 "모르겠습니다." 라고 말하였습니다. 이것을 들은 두번째 기사도 곰곰히 생각해 보더니 "모르겠습니다." 라고 말하였습니다. 두명의 기사의 이야기를 들은 첫번째 기사는 곰곰히 생각하더니 자신의 목적지를 정확하게 말하였습니다. 첫번째 기사가 말한 목적지는 어디입니까?

이 문제는 논리적 추론을 통해 해결할 수 있습니다. 각 기사가 자신의 목적지를 알 수 있는지 여부를 단계별로 분석해 보겠습니다.

상황 분석

  1. 총 5대의 버스가 있으며, 2대는 A시로 가고 3대는 B시로 갑니다.
  2. 각 기사는 앞의 차들의 목적지만 볼 수 있습니다.
  3. 세 번째 기사는 앞의 두 대의 버스 목적지를 보고 "모르겠습니다"라고 말했습니다.
  4. 두 번째 기사는 앞의 한 대의 버스 목적지를 보고 "모르겠습니다"라고 말했습니다.
  5. 첫 번째 기사는 앞의 버스가 없으므로, 다른 기사들의 반응을 통해 자신의 목적지를 추론할 수 있습니다.

단계별 추론

1. 세 번째 기사의 추론

  • 세 번째 기사는 앞의 두 대의 버스 목적지를 보고 "모르겠습니다"라고 했습니다.
  • 만약 앞의 두 대가 모두 A시로 간다면, 세 번째 버스는 B시로 가야 합니다. (왜냐하면 A시로 가는 버스는 2대뿐이기 때문입니다)
  • 만약 앞의 두 대가 모두 B시로 간다면, 세 번째 버스는 A시로 가야 합니다. (왜냐하면 B시로 가는 버스는 3대뿐이기 때문입니다)
  • 따라서, 앞의 두 대의 버스는 서로 다른 목적지를 가지고 있어야 합니다. (즉, 하나는 A시, 다른 하나는 B시)

2. 두 번째 기사의 추론

  • 두 번째 기사는 앞의 한 대의 버스 목적지를 보고 "모르겠습니다"라고 했습니다.
  • 만약 앞의 버스가 A시로 간다면, 두 번째 버스는 A시나 B시 둘 다 가능하므로 "모르겠습니다"라고 할 수 있습니다.
  • 만약 앞의 버스가 B시로 간다면, 두 번째 버스는 A시나 B시 둘 다 가능하므로 "모르겠습니다"라고 할 수 있습니다.
  • 따라서, 앞의 한 대의 버스는 A시 또는 B시로 가는 것이 모두 가능합니다.

3. 첫 번째 기사의 추론

  • 첫 번째 기사는 앞의 버스가 없으므로, 다른 기사들의 반응을 통해 자신의 목적지를 추론해야 합니다.
  • 세 번째 기사가 "모르겠습니다"라고 한 것은 앞의 두 대가 서로 다른 목적지를 가지고 있다는 것을 의미합니다.
  • 두 번째 기사가 "모르겠습니다"라고 한 것은 앞의 한 대가 A시 또는 B시 둘 다 가능하다는 것을 의미합니다.

결론

  • 앞의 두 대가 서로 다른 목적지를 가지고 있다는 것은, 첫 번째 버스가 A시로 가면 두 번째 버스는 B시로 가고, 첫 번째 버스가 B시로 가면 두 번째 버스는 A시로 간다는 것을 의미합니다.
  • 두 번째 기사가 "모르겠습니다"라고 한 것은 첫 번째 버스가 A시든 B시든 상관없이 두 번째 버스가 A시나 B시 둘 다 가능하다는 것을 의미합니다.

따라서, 첫 번째 기사는 자신의 버스가 A시로 가는 버스라는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 만약 첫 번째 버스가 B시로 간다면, 두 번째 버스는 A시로 가야 하고, 세 번째 버스는 앞의 두 대가 A시와 B시로 각각 한 대씩 있으므로 "모르겠습니다"라고 할 수 없습니다.

첫 번째 기사가 말한 목적지는 A시입니다.

지금 까지 문제와 답을 표로 만들어서 복사할수 있게 해줘. 답은 결론만 표시하면돼

물론입니다! 지금까지 제공된 문제와 그 결론을 표로 정리했습니다.

문제 번호
문제 요약
결론
1
5학년과 6학년 학생 160명이 나무 심기에 참가, 5학년 평균 3그루, 6학년 평균 5그루, 총 560그루
5학년 120명, 6학년 40명
2
베티가 100짜리지갑을사기위해필요한돈,현재100짜리 지갑을 사기 위해 필요한 돈, 현재 50, 부모 15,조부모15, 조부모 30
베티는 $5 더 필요함
3
영희, 철수, 진호가 각각 서울, 부산, 인천에서 온 학생, 등수 조건
진호는 서울에서 온 3등 학생
4
방 안에 살인자 3명, 한 명이 죽고, 아무도 나가지 않음
방 안에 살인자 2명 남아 있음
5
5대의 버스 중 2대는 A시, 3대는 B시로 감, 기사들이 목적지 추론
첫 번째 기사의 목적지는 A시

이 표를 복사하여 사용하시면 됩니다.

두 숫자 𝑥 x와 𝑦 y가 있습니다. 이들이 만족하는 식은 3 𝑥 + 4 𝑦 = 12 3x+4y=12이며, 𝑥 − 2 𝑦 = 1 x−2y=1입니다. 𝑥 x와 𝑦 y의 값을 구하세요

두 개의 연립방정식을 풀어 x x y y 의 값을 구해보겠습니다.

주어진 식은 다음과 같습니다:

  1. 3x+4y=12 3x + 4y = 12
  2. x2y=1 x - 2y = 1

1단계: 두 번째 방정식에서 x x 를 표현합니다.

두 번째 방정식을 x x 에 대해 정리하면:

x=1+2y x = 1 + 2y

2단계: 첫 번째 방정식에 대입합니다.

첫 번째 방정식에 x=1+2y x = 1 + 2y 를 대입합니다:

3(1+2y)+4y=12 3(1 + 2y) + 4y = 12

3단계: 방정식을 정리합니다.

3+6y+4y=12 3 + 6y + 4y = 12

3+10y=12 3 + 10y = 12

4단계: y y 를 구합니다.

양변에서 3을 빼면:

10y=9 10y = 9

양변을 10으로 나누면:

y=910 y = \frac{9}{10}

5단계: x x 를 구합니다.

y=910 y = \frac{9}{10} 를 두 번째 방정식 x=1+2y x = 1 + 2y 에 대입합니다:

x=1+2(910) x = 1 + 2 \left(\frac{9}{10}\right)

x=1+1810 x = 1 + \frac{18}{10}

x=1+1.8 x = 1 + 1.8

x=2.8 x = 2.8

결론

따라서, x x y y 의 값은 다음과 같습니다:

x=2.8 x = 2.8 y=910 y = \frac{9}{10}

또는 소수로 표현하면:

x=2.8 x = 2.8 y=0.9 y = 0.9

반지름이 7cm인 원의 넓이를 구하세요. 𝜋 = 3.14159 π=3.14159로 계산하세요.

원의 넓이를 구하는 공식은 다음과 같습니다:

넓이=πr2\text{넓이} = \pi r^2

여기서 r r 은 원의 반지름입니다. 주어진 반지름 r=7 r = 7 cm와 π=3.14159\pi = 3.14159를 사용하여 계산해 보겠습니다.

  1. 반지름의 제곱을 계산합니다:r2=72=49r^2 = 7^2 = 49
  2. π\pi와 반지름의 제곱을 곱합니다:넓이=3.14159×49\text{넓이} = 3.14159 \times 49
  3. 곱셈을 수행합니다:넓이=153.93891\text{넓이} = 153.93891

따라서, 반지름이 7cm인 원의 넓이는 약 153.94 cm²입니다.

주사위를 두 번 던졌을 때, 두 숫자의 합이 7이 될 확률을 구하세요.

주사위를 두 번 던졌을 때, 두 숫자의 합이 7이 될 확률을 구하는 과정을 단계별로 설명하겠습니다.

1단계: 가능한 모든 경우의 수 계산

주사위는 각 면에 1부터 6까지의 숫자가 적혀 있습니다. 주사위를 두 번 던질 때, 각 던짐마다 6가지의 결과가 나올 수 있습니다. 따라서, 두 번 던졌을 때 나올 수 있는 모든 경우의 수는 다음과 같습니다:

6×6=366 \times 6 = 36

2단계: 합이 7이 되는 경우의 수 찾기

두 주사위의 눈의 합이 7이 되는 경우를 찾습니다. 가능한 조합은 다음과 같습니다:

  • 첫 번째 주사위가 1, 두 번째 주사위가 6: (1, 6)
  • 첫 번째 주사위가 2, 두 번째 주사위가 5: (2, 5)
  • 첫 번째 주사위가 3, 두 번째 주사위가 4: (3, 4)
  • 첫 번째 주사위가 4, 두 번째 주사위가 3: (4, 3)
  • 첫 번째 주사위가 5, 두 번째 주사위가 2: (5, 2)
  • 첫 번째 주사위가 6, 두 번째 주사위가 1: (6, 1)

따라서, 합이 7이 되는 경우의 수는 총 6가지입니다.

3단계: 확률 계산

확률은 원하는 사건이 발생하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값입니다. 따라서, 두 주사위의 합이 7이 될 확률은 다음과 같습니다:

합이 7이 되는 경우의 수전체 경우의 수=636=16\frac{\text{합이 7이 되는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

결론

주사위를 두 번 던졌을 때, 두 숫자의 합이 7이 될 확률은 16\fbox{\frac{1}{6}}입니다.

첫 번째 항이 3이고, 공차가 5인 등차수열의 10번째 항을 구하세요.

등차수열의 일반항 공식은 다음과 같습니다:

an=a1+(n1)d a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

여기서:

  • an a_n 은 n번째 항
  • a1 a_1 은 첫 번째 항
  • d d 는 공차
  • n n 은 항의 번호

주어진 문제에서:

  • 첫 번째 항 a1=3 a_1 = 3
  • 공차 d=5 d = 5
  • 구하고자 하는 항은 10번째 항, 즉 n=10 n = 10

이 값들을 일반항 공식에 대입하면:

a10=3+(101)5 a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5

a10=3+95 a_{10} = 3 + 9 \cdot 5

a10=3+45 a_{10} = 3 + 45

a10=48 a_{10} = 48

따라서, 첫 번째 항이 3이고 공차가 5인 등차수열의 10번째 항은 48입니다.

어떤 직사각형의 둘레가 36cm입니다. 이 직사각형의 넓이를 최대화하려면 가로와 세로의 길이는 각각 얼마여야 하나요?

직사각형의 둘레와 넓이를 최대화하는 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 과정을 따릅니다.

1. 문제 이해

  • 직사각형의 둘레는 36cm입니다.
  • 직사각형의 넓이를 최대화하려면 가로와 세로의 길이를 어떻게 설정해야 하는지 구해야 합니다.

2. 수식 정리

  • 직사각형의 둘레 공식: P=2(l+w) P = 2(l + w) 여기서 l l 은 가로의 길이, w w 는 세로의 길이입니다.
  • 주어진 둘레: 2(l+w)=36 2(l + w) = 36 이를 정리하면: l+w=18 l + w = 18

3. 넓이 공식

  • 직사각형의 넓이: A=l×w A = l \times w

4. 넓이 최대화

  • l+w=18 l + w = 18 에서 w=18l w = 18 - l 로 표현할 수 있습니다.
  • 넓이 A A l l 에 대한 식으로 나타내면:A=l×(18l)=18ll2A = l \times (18 - l) = 18l - l^2

5. 최대 넓이 찾기

  • A=18ll2 A = 18l - l^2 l l 에 대한 이차 함수이며, 아래로 볼록한 포물선 형태입니다.
  • 이차 함수의 최대값은 꼭짓점에서 발생합니다.
  • 꼭짓점의 l l 값은 l=b2a l = -\frac{b}{2a} 로 구할 수 있습니다. 여기서 a=1 a = -1 , b=18 b = 18 입니다.l=182×(1)=182=9l = -\frac{18}{2 \times (-1)} = \frac{18}{2} = 9
  • l=9 l = 9 일 때, w=18l=189=9 w = 18 - l = 18 - 9 = 9

6. 결론

  • 직사각형의 넓이를 최대화하려면 가로와 세로의 길이가 각각 9cm여야 합니다.
  • 이 경우, 직사각형은 정사각형이 되며, 넓이는 9×9=81 9 \times 9 = 81 제곱센티미터입니다.

따라서, 직사각형의 넓이를 최대화하려면 가로와 세로의 길이는 각각 9cm여야 합니다.

복소평면에서 다음 극한값을 구하시오. lim[n→∞] (1 + i/n)^(n^2) 여기서 i는 허수단위 (i^2 = -1)입니다.

이 문제는 복소수의 극한값을 구하는 문제로, 복소평면에서 지수 함수의 성질을 활용해야 합니다. 주어진 극한은 다음과 같습니다:

limn(1+in)n2\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{i}{n}\right)^{n^2}

1단계: 극한의 형태 변환

우선, 극한의 형태를 자연로그를 사용하여 변환합니다.

(1+in)n2=en2ln(1+in)\left(1 + \frac{i}{n}\right)^{n^2} = e^{n^2 \ln \left(1 + \frac{i}{n}\right)}

따라서, 우리는 다음 극한을 계산해야 합니다:

limnen2ln(1+in)\lim_{n \to \infty} e^{n^2 \ln \left(1 + \frac{i}{n}\right)}

2단계: 로그 항 계산

복소수의 로그를 테일러 급수를 사용하여 근사합니다. ln(1+z) \ln(1+z) 의 테일러 급수는 다음과 같습니다:

ln(1+z)=zz22+z33\ln(1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \cdots

여기서 z=in z = \frac{i}{n} 이므로,

ln(1+in)=in12(in)2+13(in)3\ln \left(1 + \frac{i}{n}\right) = \frac{i}{n} - \frac{1}{2}\left(\frac{i}{n}\right)^2 + \frac{1}{3}\left(\frac{i}{n}\right)^3 - \cdots
=ini22n2+i33n3= \frac{i}{n} - \frac{i^2}{2n^2} + \frac{i^3}{3n^3} - \cdots
=in+12n2i3n3= \frac{i}{n} + \frac{1}{2n^2} - \frac{i}{3n^3} - \cdots

3단계: 지수 항 계산

이제 n2ln(1+in) n^2 \ln \left(1 + \frac{i}{n}\right) 를 계산합니다:

n2ln(1+in)=n2(in+12n2i3n3)n^2 \ln \left(1 + \frac{i}{n}\right) = n^2 \left(\frac{i}{n} + \frac{1}{2n^2} - \frac{i}{3n^3} - \cdots \right)
=n2in+n212n2n2i3n3= n^2 \cdot \frac{i}{n} + n^2 \cdot \frac{1}{2n^2} - n^2 \cdot \frac{i}{3n^3} - \cdots
=in+12i3n= in + \frac{1}{2} - \frac{i}{3n} - \cdots

4단계: 극한 계산

n n \to \infty 일 때, i3n \frac{i}{3n} 와 그 이상의 항들은 0으로 수렴합니다. 따라서,

limnn2ln(1+in)=limn(in+12i3n)=i+12\lim_{n \to \infty} n^2 \ln \left(1 + \frac{i}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(in + \frac{1}{2} - \frac{i}{3n} - \cdots \right) = \infty \cdot i + \frac{1}{2}

여기서 실수 부분은 12\frac{1}{2}이고, 허수 부분은 inin으로 무한히 커집니다.

5단계: 최종 극한값

따라서,

limnen2ln(1+in)=ei+12=e12ei\lim_{n \to \infty} e^{n^2 \ln \left(1 + \frac{i}{n}\right)} = e^{\infty \cdot i + \frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}} \cdot e^{\infty \cdot i}

여기서 ei e^{\infty \cdot i} 는 복소평면에서 무한히 회전하는 값이므로, 이 극한은 발산합니다.

결론

주어진 극한은 복소평면에서 발산합니다. 따라서,

발산\boxed{\text{발산}}

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